בדיד רמה 5 | הסתברות להצלחה

תרגיל - טרנספורמציות של בינומיים

יהיו מ"מ ב"ת.

א. מצאו את פונקציית ההסתברות של .

ב. מצאו את פונקציית ההסתברות של

ג. מצאו את הפונקציה יוצרת המומנטים של וזהו את התפלגות .

פונקציה יוצרת מומנטים של סכום מ"מים ב"ת שווה לסכום הפונקציות יוצרות המומנטים.

א.

ב.

ג.

*שאלות, תגובות, הערות? מוזמנים להוסיף בתחתית הדף. נא ציינו את שם התרגיל.

תרגיל - שתי מכונות

במפעל שתי מכונות תקינות. בכל יום, כל מכונה שעובדת מתקלקלת בהסתברות 1/3. כל הקלקולים בלתי תלויים. בסוף כל יום, אם יש בדיוק מכונה אחת מקולקלת, פותחים את המפעל למחרת עם המכונה התקינה בלבד. אם שתי המכונות מקולקלות, זורקים אותן וקונים חדשות, כך שלמחרת שוב תהיינה שתי מכונות תקינות.

חשבו את תוחלת מספר הימים עד לרכישה הראשונה של מכונות חדשות.

תוחלת שלמה. חישבו במה כדאי להתנות.

נסמן X – מספר הימים מההחלה עד ששתי המכונות מתקלקלות.

נסמן Y – מספר הימים מהקלקול הראשון עד לקלקול השני.

כמובן , ולכן .

התוחלת המבוקשת מורכבת מהיום הראשון ומתוחלת מספר הימים הנוספים.

לחישוב תוחלת מספר הימים הנוספים, נשתמש במשפט התוחלת השלמה, כאשר ההתניה היא במה שקרה ביום הראשון: שתיהן נשארו תקינות, בדיוק אחת התקלקלה או שתיהן התקלקלו.

*שאלות, תגובות, הערות? מוזמנים להוסיף בתחתית הדף. נא ציינו את שם התרגיל.

תרגיל - מה הלמדא?

נתונים n מ"מים ב"ת .

בטאו באמצעות את הערך של עבורו

היא הגבוהה ביותר (לעומת ערכים אחרים של ).

גוזרים את הפונקציה (או את ה- ln שלה) ומשווים לאפס.

כדי למצוא את הערך שמביא את הביטוי הנ"ל למקסימום, אפשר לגזור את הביטוי ולהשוות לאפס.

מכיוון ש-ln היא פונקציה עולה, כל פונקציה וה-ln שלה מגיעות למקסימום באותה נקודה, ולכן במקום לגזור את הביטוי, אפשר לגזור את ה-ln שלו (יותר קל לגזור סכום מאשר מכפלה).