רציף רמה 3

    משה מגיע לתחנת אוטובוס בשעה 10:00. האוטובוס מגיע בזמן המתפלג אחיד רציף בין 10:00 ל- 10:30.

    א.  מה ההסתברות שמשה יצטרך להמתין למעלה מ-10 דקות?

    ב. ידוע שהאוטובוס לא הגיע עד שעה 10:15, מה ההסתברות שמשה יצטרך להמתין לפחות עוד 10 דקות?

    ג. משה מגיע לתחנת הרכבת בשעה 11:00. הרכבת מגיעה בזמן המתפלג אחיד רציף בין 11:00 ל-11:20. חשבו בקירוב את ההסתברות שממוצע סך זמני ההמתנה של משה (לאוטובוס ולרכבת) במשך 30 ימים יהיה נמוך מ-27 דקות. אין תלות זמני ההמתנה השונים.

    בסעיף ג' כדאי להשתמש במשפט הגבול המרכזי.

    א.  מ"מ המציין את זמן ההמתנה לאוטובוס.

    ב.

     

    ג.  מ"מ המציין את זמן ההמתנה לרכבת.


     לפי משפט הגבול המרכזי, מתקיים בקירוב

     

    *שאלות, תגובות, הערות? מוזמנים להוסיף בתחתית הדף. נא ציינו את שם התרגיל.

    משך הזמן הנדרש לסטודנט בשעות כדי לפתור בעיה במבחן בפיזיקה הוא מ"מ   שפונקציית הצפיפות שלו היא:

     

    א. מצאו את ערכו של הקבוע ואת פונקציית ההתפלגות המצטברת של  X.

    ב. הציון שהסטודנט מקבל עבור השאלה הוא . מצאו את שונות הציון.

    תוחלת של שורש לא שווה לשורש של התוחלת. משתמשים בנוסחת התוחלת של פונקציה.

    א. אינטגרל מ-0 ל-1 (התחום המתאים במקרה זה) על הפונקציה שווה 1.

    חילוץ c מהמשוואה נותן  .

    חישוב אינטגרל מ-0 ל-x נותן את פונקציית ההתפלגות בתחום המעניין (שני התחומים האחרים טריוויאליים):

     

     

    ב.

    *שאלות, תגובות, הערות? מוזמנים להוסיף בתחתית הדף. נא ציינו את שם התרגיל.

    הציון של סטודנט בקורס הוא מ"מ  בעל פונקציית ההתפלגות המצטברת הבאה:

     

    א. מהו הערך שציונם של מחצית מהסטודנטים קטן או שווה לו ("החציון")?

    ב. הסטודנט מקבל מלגה על פי הקריטריונים הבאים:

               אם ציונו לכל היותר 80 אך גדול או שווה לחציון, המלגה היא בסכום 300 ₪,

               אם ציונו לפחות 80 המלגה היא בסכום 1200 ₪.

               בכל מצב אחר הסטודנט לא יקבל מלגה.

         מה תוחלת סכום המלגה שסטודנט מקבל? (סטודנט שלא מקבל מלגה = מקבל סכום של 0 ₪).

    ג. בחרת באקראי 6 סטודנטים. מה ההסתברות שבדיוק 2 מהם לא קיבלו מלגה, 3 קיבלו 300 ₪ כל אחד  ו-1 קיבל 1200 ₪?

    לסעיף ג' – איזו התפלגות רב-ממדית בדידה מסתתרת כאן?

    א. יש למצוא   המקיים:   

    מחלצים ומקבלים:

    ב.   מ"מ המציין את גובה המלגה.

    ג.התפלגות מולטינומית:  

    *שאלות, תגובות, הערות? מוזמנים להוסיף בתחתית הדף. נא ציינו את שם התרגיל.

    יהיו   בלתי תלויים.

    נגדיר:

    .

    חשבו את .

    שונות של סכום מ"מים בלתי מתואמים (ובפרט ב"ת) שווה לסכום השונויות.

    נפתור בשתי דרכים:

    הדרך הראשונה משתמשת בנוסחת העבודה של הקוואריאנס.

    השתמשנו בעובדה ש   בלתי תלויים ולכן:

     

    לסיכום נקבל כי:

     

    הדרך השנייה משתמשת בנוסחת הקווריאנס בין סכומים

    וממשיכים כמו בדרך הראשונה.

    *שאלות, תגובות, הערות? מוזמנים להוסיף בתחתית הדף. נא ציינו את שם התרגיל.

    יהי (X, Y)  מ"מ דו-ממדי רציף בעל פונקציית הצפיפות המשותפת הבאה:

     

    א. חשבו את

    ב. חשבו את

    אפשר למצוא את סטיות התקן ואת מקדם המתאם, ומהן לחשב את הקווריאנס.

    א. מדובר בצפיפות משותפת דו-נורמלית. מהשוואת הפרמטרים השונים לנוסחת הצפיפות המשותפת מתקבל:

    ומכאן:

     

    ב. תוחלת מותנית בהתפלגות דו-נורמלית היא:

    מהצבת הערכים שחושבו בסעיף הקודם ו- 1=y , מתקבל כי התוחלת המותנית = 1/2.

    *שאלות, תגובות, הערות? מוזמנים להוסיף בתחתית הדף. נא ציינו את שם התרגיל.

    מספר ההודעות המגיעות למחשב הוא משתנה מקרי פואסוני עם תוחלת של 4 הודעות לשעה. אין תלות בין מספרי ההודעות בשעות שונות.

    א. בשעות 08:00-11:00 הגיעו סך הכול 12 הודעות, מה ההסתברות שבשעות 09:00-08:00 הגיעו 4 הודעות בדיוק?

    ב. מה ההסתברות שביממה כלשהי יגיעו לכל היותר 100 הודעות?

    ג. זמן התגובה להודעה ביממה מסוימת תלוי במספר ההודעות שהגיעו ביממה החולפת.

    אם הגיעו למעלה מ 100 הודעות ביממה החולפת, זמן התגובה להודעה הוא מ"מ מעריכי עם תוחלת של 5 דקות.

    אחרת, זמן התגובה להודעה הוא מ"מ מעריכי עם תוחלת 8 דקות.

    מדדו את זמן התגובה להודעה מסוימת ומצאו כי הוא עולה על 5 דקות. מה ההסתברות שהגיעו לכל היותר 100 הודעות ביממה החולפת?

    התפלגות בינומית, קירוב מפואסוני לנורמלי ומשפט בייס, עשויים מאד להועיל.

    א.

    ב. ביממה 24 שעות, ולכן מספר ההודעות המגיעות ביממה מפולג  .

    בעזרת קירוב מפואסוני לנורמלי (מקרה פרטי של משפט הגבול המרכזי):

    ג. נסמן:

                    מאורע – הגיעו למעלה מ-100 הודעות ביממה החולפת.

                    מאורע   – הגיעו לכל היותר 100 הודעות ביממה החולפת.

                    משתנה מקרי Y – זמן התגובה להודעה.

                 נשתמש במשפט בייס:

     


    *שאלות, תגובות, הערות? מוזמנים להוסיף בתחתית הדף. נא ציינו את שם התרגיל.

    נתונים שלושה משתנים מקריים רציפים, בלתי-תלויים ובעלי אותה פונקציית צפיפות. נסמן משתנים אלה ב- .

     

    א. חשבו                      

    ב. חשבו    

    סימטריה.

    א. מכיוון שהמשתנים הם רציפים (ההסתברות לשוויון ביניהם היא 0), בלתי תלויים ושווי התפלגות, מתקיים מטעמי סימטריה:

    ב. 

     

    ההסתברות במונה היא ההסתברות ש- הוא הגדול ביותר מבין השלושה.

    מטעמי סימטריה הסתברות זו היא .


    *שאלות, תגובות, הערות? מוזמנים להוסיף בתחתית הדף. נא ציינו את שם התרגיל.

    בבניין משרדים מותקנת מעלית גדולה. המשקל המירבי שהמעלית יכולה לשאת הוא 2,820 ק"ג. למעלית נכנסו 36 אנשים. ידוע שתוחלת משקל אדם היא 75 ק"ג וסטיית התקן היא 10 ק"ג, ושמשקלי אנשים שונים ב"ת זה בזה. חשבו בקירוב את ההסתברות שהמעלית תוכל לשאת את כל האנשים שנכנסו אליה.

    משפט הגבול המרכזי

    נסמן את המשקל הכולל של האנשים שנכנסו למעלית ב-.

    מתקיימים תנאיי משפט הגבול המרכזי, ולכן בקירוב:

    מכאן, ההסתברות המבוקשת היא בקירוב:

     


    *שאלות, תגובות, הערות? מוזמנים להוסיף בתחתית הדף. נא ציינו את שם התרגיל.

    מפעל מייצר נורות. אורך החיים של כל נורה מפולג נורמלית עם תוחלת 788 שעות וסטיית תקן 40 שעות. חשבו את ההסתברות שאורך החיים הממוצע של 16 נורות שנבחרו באקראי יהיה פחות מ-773 שעות.

    איך מתפלג ממוצע של נורמליים?

    ממוצע של נורמליים ב"ת שווי התפלגות מפולג נורמלית עם אותה תוחלת כמו המ"מים, ושונות קטנה יותר פי  n .

    כלומר, אם נסמן את אורכי החיים של הנורות , ואת הממוצע שלהם ב-  ,

    נקבל ש:

     

    ומכאן:

     

    הערה: אין קשר בין השאלה הזאת למשפט הגבול המרכזי.

    משפט הגבול המרכזי נותן קירוב טוב עבור ערכים גדולים של n. כאן n קטן יחסית, אך ממוצע (וסכום) של מ"מים ב"ת שמראש התפלגו נורמלית, מתפלג נורמלית, ללא קשר ל-n.


    *שאלות, תגובות, הערות? מוזמנים להוסיף בתחתית הדף. נא ציינו את שם התרגיל.

    ארבעים ילדים משתתפים במשחק קליעה, בו ההסתברות של כל ילד לפגוע במטרה היא 0.08. אין תלות בין הישגי הילדים השונים. חשבו בקירוב את ההסתברות שהמספר הממוצע של קליעות לילד עד לפגיעה במטרה (כולל הפגיעה) יהיה לפחות 10.

    משפט הגבול המרכזי.

    נגדיר  – מספר הקליעות למטרה של הילד ה-i  עד לפגיעה      40 , … 1,2 =i

     

    מכאן, לפי משפט הגבול המרכזי, המספר הממוצע של קליעות לילד עד לפגיעה במטרה הוא משתנה מקרי    בעל התפלגות מקורבת   .

     

    מכאן:


    *שאלות, תגובות, הערות? מוזמנים להוסיף בתחתית הדף. נא ציינו את שם התרגיל.

    יהי Y משתנה מקרי בעל פונקציית הצפיפות הבאה:

    מצאו את פונקציית ההתפלגות של Y.

    זכרו שההתפלגות המצטברת כאשר , כוללת גם את המקרים שבהם

        

    *שאלות, תגובות, הערות? מוזמנים להוסיף בתחתית הדף. נא ציינו את שם התרגיל.

    אם יש לכם שאלה או תגובה – רשמו אותה כאן

    Subscribe
    Notify of
    guest
    0 תגובות
    Inline Feedbacks
    View all comments