בדיד רמה 4

    מבצעים סדרה אינסופית של ניסויי ברנולי בלתי תלויים עם הסתברות p להצלחה בניסוי בודד.

    א. יהי  מ"מ המציין את מספר הכשלונות שהתקבלו לפני ההצלחה הראשונה. מצאו את פונקציית ההסתברות והתוחלת של  .

    ב. יהי  מ"מ המציין את אורך הרצף של הניסויים מאותו הסוג (הצלחות או כשלונות)  שבוצעו עד אשר לראשונה התקבלה תוצאה שונה מזו שהתקבלה בניסוי הראשון. בנו את פונקציית ההסתברות ואת הפונקציה יוצרת המומנטים של .

    כדאי להשתמש בתוצאות ידועות של ההתפלגות הגיאומטרית

    א.

    אפשר גם לומר ש-  ולכן

     

    הערה: התפלגות Y נקראת גם "גיאומטרית-אפס" או "גיאומטרית סופרת כשלונות".

     

     

    ב. כדי שאורך הסדרה יהיה k נדרושk  הצלחות רצופות ואחריהן כשלון, או k כשלונות רצופים ואחריהם הצלחה.

    ההסתברות ל-k הצלחות רצופות ואחריהן כשלון היא  

    ההסתברות ל-k  כשלונות רצופים ואחריהם הצלחה היא .

    המאורעות זרים ולכן למציאת ההסתברות המבוקשת ניתן לסכום את שתי ההסתברויות, ומתקבל:

      

     

    פונקציה יוצרת מומנטים:

     

    נשים לב שהביטוי   הוא פונק' יוצרת מומנטים של מ"מ גאומטרי עם פרמטר q, והביטוי  הוא פונק' יוצרת מומנטים של מ"מ גאומטרי עם פרמטר p .

     

    ומכאן נקבל כי

     

    *שאלות, תגובות, הערות? מוזמנים להוסיף בתחתית הדף. נא ציינו את שם התרגיל.

    חנות בגדים נפתחת בכל יום בשעה 9:30 בבוקר. מספר הנשים המגיעות לחנות הבגדים הוא משתנה מקרי פואסוני עם תוחלת של 8 נשים בשעה. מספר הגברים המגיעים לאותה חנות בגדים הוא משתנה מקרי פואסוני עם תוחלת של 1.5 גברים בשעה. אין תלות בין הגעת נשים להגעת גברים לחנות הבגדים.

    חשבו את ההסתברות שמתוך 10 ימי עבודה, ימצאו בדיוק 4 ימים בהם יגיעו לחנות הבגדים לכל היותר 2 אנשים (גברים/נשים) עד השעה 10:30 (בכל אחד מהימים).

    שאלה על פואסוני ואחריה שאלה על בינומי

       מציין את מספר הנשים המגיעות לחנות הבגדים בשעה.

       מציין את מספר הגברים המגיעים לחנות הבגדים בשעה.

    נסמן Z=X+Y   מספר האנשים (נשים/גברים) המגיעים לחנות הבגדים בשעה  ==>

     

    ההסתברות שיגיעו לחנות הבגדים לכל היותר 2 אנשים בין 9:30 ל 10:30  (ביום מסוים) היא

                   

    לפיכך, מספר הימים בהם יגיעו לחנות הבגדים לכל היותר 2 אנשים (גברים/נשים) עד השעה 10:30 מתוך 10 ימי עבודה

    הוא משתנה מקרי T בעל התפלגות

     

    *שאלות, תגובות, הערות? מוזמנים להוסיף בתחתית הדף. נא ציינו את שם התרגיל.

    נתונה שורה של n משבצות. בכל שלב בוחרים באקראי שתי משבצות סמוכות ריקות ומניחים עליהן אבן דומינו. חוזרים על התהליך עד שלא נותרו עוד זוגות של משבצות סמוכות ריקות. בסיום התהליך בוחרים באקראי משבצת מהשורה.

    עבור כל ערך n שלם בין 1 ל-7, חשבו את ההסתברות שהמשבצת שנבחרה ריקה.

    הסתברות שלמה, כאשר מתנים במיקום האבן הראשונה.

    ההסתברות שהמשבצת שנבחרה ריקה

    n

    1

    1

    0

    2

    1/3

    3

    2/3·0+1/3·2/4=1/6

    4

    1/4·1/5+1/4·1/5+1/4·1/5+1/4·1/5=1/5

    5

    2/5·1/6+2/5·1/3+1/5·0=1/5

    6

    2/6·1/7+2/6·(2/3·1/7+1/3·3/7)+2/6·1/7=11/63

    7

    *שאלות, תגובות, הערות? מוזמנים להוסיף בתחתית הדף. נא ציינו את שם התרגיל.

    מטילים קובייה הוגנת 3 פעמים.

    יהי  מ"מ המציין את מספר הפעמים שהתקבלה תוצאה  אי זוגית.

    יהי  מ"מ המציין את מספר הפעמים שהתקבלה התוצאה "6".

    א. מצא את פונקציית ההסתברות המשותפת  של .

    ב. נגדיר   מ"מ הסופר את מספר הפעמים שהתקבלה תוצאה  אי זוגית או התוצאה "6". מצאו את התוחלת ואת השונות של  .

    ג. מהו מקדם המתאם בין X ל-Y, ומה משמעות התוצאה?

    אפשר להשתמש בהתפלגות בדידה רב-מימדית מוכרת.

    א. מציבים בהתפלגות המולטינומית, או מחשבים במיוחד, ומקבלים:

    3

    2

    1

    0

    y

     

    0

    0

    1

    0

    0

    2

    0

    0

    0

    3

    1

     

    לדוגמה:

     

    ב.

                                     ולכן   

     

    ג.

     

    המשמעות: ככל ש-X גדל, ל-Y יש נטייה לקטון (מה שמאוד הגיוני).

     

    *שאלות, תגובות, הערות? מוזמנים להוסיף בתחתית הדף. נא ציינו את שם התרגיל.

    יהיו   מ"מ שכל אחד מהם מקבל את הערכים 0 ו-1 בלבד, ומתקיים .

    האם  בלתי תלויים? הוכח או הפרך ע"י דוגמה נגדית.

    נסו לבנות טבלת פונקציית הסתברות משותפת על סמך הנתונים.

    נניח כי


    לפי הנתון 

     

    מכאן:  

     

     

    נבנה את פונקציית ההסתברות המשותפת על סמך הנתונים הנ"ל ונשלים את הטבלה

    1

    0

    y

           x     

    0

    1

    1

     

    קל לראות מהטבלה שפונקציית ההסתברות המשותפת שווה למכפלת פונקציות ההסתברות השוליות, ומכאן  מ"מ ב"ת.

     

     

    כלומר: לא תמיד "בלתי מתואמים" גורר "בלתי תלויים", אבל אם שני המ"מים מתפלגים ברנולי, אז אם הם בלתי מתואמים, הם בהכרח בלתי תלויים.

    (במקרה הרציף, זה קורה בהתפלגות הנורמלית).

    *שאלות, תגובות, הערות? מוזמנים להוסיף בתחתית הדף. נא ציינו את שם התרגיל.

    בדוכן הגרלה כד שבו 2 כדורים ירוקים, 2 כדורים אדומים וכדור אחד לבן. 

    לקוח המגיע לדוכן ההגרלה, משחק את המשחק הבא: הלקוח דוגם באקראי (עם החזרה) 4 כדורים מהכד.

    נגדיר מאורע A – רוב הכדורים במדגם ירוקים (כלומר, הצבע הירוק מופיע יותר מכל צבע אחר).

    א) חשבו את ההסתברות של מאורע A.

    ב) הלקוח משחק את המשחק שוב ושוב עד שמתרחש המאורע A 3 פעמים (לאו דווקא ברצף).

    בתום המשחק, הלקוח ירוויח 1,000 ₪,  אך יצטרך לשלם לבעל הדוכן 50 ₪ עבור כל משחק ששיחק, פרט למשחקים בהם התרחש המאורע A.

    חשבו את ההסתברות שהרווח במשחק יהיה 950 ₪.

    א – חלוקה למקרים. ב- לבטא את הרווח כפונקציה של מספר המשחקים

    א. מספר האפשרויות הקיימות בדגימת 4 כדורים מתוך 5 עם החזרה הוא .

    האפשרויות הטובות (מאורע A – רוב הכדורים במדגם ירוקים) הן המקרים הבאים:

     2 ירוקים, 1 אדום, 1 לבן

     3 ירוקים, 1 אדום

     3 ירוקים, 1 לבן

     4 ירוקים.

    ולכן עבור האפשרות הראשונה, בשני מקומות מתוך הארבעה יהיו כדורים ירוקים, במקום אחד מתוך שני המקומות הנותרים יהיה אדום ובמקום שנשאר יהיה כדור לבן.

    לכן מספר האפשרויות הינו:

     

    עבור האפשרות השנייה –  ב-3 מתוך 4 המקומות יהיו כדורים ירוקים ובמקום הנותר אדום, ולכן נקבל:

     

    באופן דומה עבור האפשרות השלישית נקבל: 

     

    ועבור האפשרות הרביעית נקבל .

    מכאן ההסתברות למאורע :

     

    ב. מאחר והלקוח יקבל 1,000 ₪, אך יצטרך לשלם לבעל הדוכן 50 ₪ עבור כל משחק ששיחק, פרט למשחקים בהם התרחש המאורע A , הרווח במשחק הוא משתנה מקרי Y המוגדר באופן הבא:

       

    כאשר  מייצג את מספר המשחקים עד אשר יתקבל המאורע A 3 פעמים.

    מכאן, ההסתברות שהרווח במשחק יהיה 950 ₪ היא :

                                       

     

    *שאלות, תגובות, הערות? מוזמנים להוסיף בתחתית הדף. נא ציינו את שם התרגיל. 

    לערב גיבוש מגיעים 75 עובדי חברה. 40 מתוכם נכנסים לחדר א' והשאר לחדר ב'. אין תלות בין רווחים של אנשים שונים.

     א. בחדר א' מתנהל המשחק הבא: כל עובד מקבל חפיסת קלפים מעורבבת היטב. העובד מוציא באקראי וללא החזרה 7 קלפים. על כל קלף "לב" הוא מפסיד 4 ₪ ועל כל קלף אחר הוא מרוויח 8 ₪ (בחפיסה 13 קלפים מכל צורה). חשבו את תוחלת ושונות הרווח של עובד מהמשחק שנערך בחדר א'.

     ב. בחדר ב' מתנהל המשחק הבא: כל עובד מקבל חפיסת קלפים מעורבבת היטב. העובד מוציא באקראי ועם החזרה קלף מהחפיסה עד שלראשונה מוציא "מלכה". על הוצאת "מלכה" הוא זוכה ב-80 ₪ ועל כל קלף אחר הוא מפסיד 3 ₪. חשבו את תוחלת ושונות הרווח של עובד מהמשחק שנערך בחדר ב'.

    ג. חשבו את ההסתברות שסך הרווח של העובדים בחדר א' יעלה על סך הרווח של העובדים בחדר ב'.

    תוחלת ושונות של פונקציה לינארית של משתנה מקרי.

    א. חדר א

     מ"מ שמציין את מספר קלפי "לב" שהוצאו.

    Y – רווח עובד בחדר א'.       מתקיים:

    ב. חדר ב

     מ"מ שמציין את מספר הוצאות מהחפיסה עד לקבלת "מלכה" ראשונה.

    W – רווח עובד בחדר ב'.   מתקיים:  

    ג. ע"פ משפט הגבול המרכזי נקבל כי סך רווח העובדים בחדר א' הינו:

    ובאופן דומה עבור חדר ב':             
    ומכאן:

    לכן:

     

    *שאלות, תגובות, הערות? מוזמנים להוסיף בתחתית הדף. נא ציינו את שם התרגיל.

    אם יש לכם שאלה או תגובה – כתבו אותה כאן

    Subscribe
    Notify of
    guest
    0 תגובות
    Inline Feedbacks
    View all comments